Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{y^{3} - 1}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $y^{3} - 1$ ra ngoài $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Bước 3.4.2

Đưa $y^{3} - 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Bước 3.5

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Sau đó $d u = 3 y^{2} d y$ , nên $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Bước 4.2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y - 1$ và $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3.5

Cộng $2 y + 1$ và $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 4.2.1.1.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Bước 4.2.1.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Bước 4.2.1.1.3.8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Bước 4.2.1.1.3.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Bước 4.2.1.1.3.9.2

Nhân $y^{2} + y + 1$ với $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.4.4.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.6

Nhân $y$ với $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.8

Cộng $- 2 y$ và $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.9

Cộng $2 y^{2}$ và $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.10

Cộng $- y$ và $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.11

Cộng $3 y^{2}$ và $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Bước 4.2.1.1.4.4.12

Cộng $- 1$ và $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Bước 4.2.1.1.4.4.13

Cộng $3 y^{2}$ và $0$ .

$3 y^{2}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Bước 4.3.2

Nhân $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.1.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.2

Rút gọn $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.3

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Bước 4.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Khai triển $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y \cdot 1$ và $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.1.2

Trừ $1 y$ khỏi $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.1.3

Cộng $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ và $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.2.1

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.2.1.1

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.3

Viết lại $- 1 y^{2}$ ở dạng $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.3.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.1.2

Cộng $y^{3}$ và $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.1.1.2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $3 (- \frac{1}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Bước 5.2.2.1.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Bước 5.2.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Bước 5.5.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Bước 5.5.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Bước 5.5.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.1

Để viết $3 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x \cdot x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.3.7

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Bước 5.5.5.4

Để viết $3 C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.6.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.2

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.6.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.6.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Bước 5.5.5.6.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$