Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Bước 1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 2 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 7.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 7.3.3

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 7.5.2

Nhân $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ với $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 7.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Bước 7.7

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 7.7.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 7.7.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 7.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Bước 7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Bước 7.8.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 7.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Bước 7.10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Bước 7.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 7.11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 7.12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 7.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.1

Viết lại $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 7.13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.13.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 7.13.2.2

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 7.13.2.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Bước 7.14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 7.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Bước 8.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Bước 8.1.3

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ cho $e^{- 2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ cho $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.2

Nhân $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.3

Nhân $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.5

Để viết $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.6.1

Nhân $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.8.1

Đưa $3 e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.8.1.1

Đưa $3 e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.8.1.2

Đưa $3 e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.8.1.3

Đưa $3 e^{- 2 x}$ ra ngoài $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.9

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.10

Kết hợp $C$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.12.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.12.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.12.4

Nhân $3$ với $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2.12.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.4

Nhân $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ với $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 6 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $4 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.10.1

Viết lại $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ ở dạng $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.10.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.10.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$