Giải tích Ví dụ

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.2.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$