Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 6 \int x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ ở dạng ${u_{1}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.3.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ và $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{- 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 3 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 2.3.6

Giả sử $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Sau đó $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Hãy đặt $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Tính đạo hàm $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Bước 2.3.6.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- {u_{1}}^{3}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Bước 2.3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Bước 2.3.6.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Bước 2.3.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Bước 2.3.9

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 2.3.10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.3

Nhân $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- {u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{3}} + K$