Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{3} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ .

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

Bước 4.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

Bước 5

Thay $\frac{7}{4}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{7}{4}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$