Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (\frac{π}{2}) = 8$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{2}$ cho $t$ và $8$ cho $s$ trong $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$8 = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$1 + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$

Bước 4.2.1.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$1 + 0 + K = 8$

Bước 4.2.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + K = 8$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 8 - 1$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$K = 7$

Bước 5

Thay $7$ cho $K$ trong $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $7$ bằng $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 7$