Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 4 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $1 + 4 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{1}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.5.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.5.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.5.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.5.2

Viết lại $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Bước 3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$