Giải tích Ví dụ

$(6 x y - y^{3}) d x + (4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y - y^{3}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x y - y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [6 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $6 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $6 x y$ đối với $y$ là $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{3}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - (3 y^{2})$

Bước 1.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 3 y^{2}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 6 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Bước 2.2.2

Vì $4 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x y^{2}$ đối với $x$ là $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $0$ và $6 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 3 y^{2}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 6 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 3 y^{2} + 6 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 3 y^{2} + 6 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y - y^{3} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 6 x y d x + \int - y^{3} d x$

Bước 5.2

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6 y$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 6 y \int x d x + \int - y^{3} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{3} d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{3} x + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{3} x + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y x^{2}$ đối với $y$ là $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{3} x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} - x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2}$

Bước 9.1.2

Cộng $3 y^{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 0 + 3 y^{2} x$

Bước 9.1.3.2

Cộng $4 y - 3 x y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 3 y^{2} x$

Bước 9.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- 3 x y^{2}$ và $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 y^{2} x + 3 y^{2} x$

Bước 9.1.3.4

Cộng $- 3 y^{2} x$ và $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Bước 9.1.3.5

Cộng $4 y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $4 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Bước 10.3

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 4 \int y d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + 2 y^{2} + C$