Giải tích Ví dụ

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y - 10 x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 10 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 10 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Bước 5.3

Thay $x$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x$ bằng $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Bước 5.3.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 6.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2 y - 10 x^{2}$ với $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Bước 7.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Bước 7.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Bước 7.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

Bước 7.4

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $x$ với $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 y x$ và $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

Bước 13.1.2.2

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

Bước 13.1.2.3

Cộng $- 10 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- 10 x^{3}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

Bước 14.3

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 10$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

Bước 14.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 14.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Viết lại $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Bước 14.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.1

Kết hợp $- 10$ và $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

Bước 14.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

Bước 14.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 14.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 14.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

Bước 14.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Bước 16

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

Bước 16.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$