Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 y + x^{2} + 5$

Bước 1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x^{2} + 5$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 2 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Bước 3.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.3.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.4

Vì $- \frac{1}{2} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.3.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.5.5

Nhân $\int e^{- 2 x} (x) d x$ với $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.7.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.8

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.9.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.10

Giả sử $u_{1} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Hãy đặt $u_{1} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 7.10.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 7.10.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 7.10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.11.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.15

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Bước 7.16

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

Bước 7.17

Giả sử $u_{2} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.17.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 7.17.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 7.17.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 7.17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 7.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.18.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 7.18.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 7.19

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Bước 7.20

Nhân $- 1$ với $5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 7.21

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 7.22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.22.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7.22.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7.23

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 7.24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.24.1

Rút gọn.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.24.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.24.2.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.24.2.2

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.24.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.24.2.4

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.25

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.25.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 7.25.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 7.26

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.26.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 7.26.2

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Bước 7.27

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8.1.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8.1.3

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8.1.5

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 8.1.6

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ cho $e^{- 2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ cho $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 8.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.3

Để viết $- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.4.1

Nhân $\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.2.1.1

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.2.1.1.1

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.1.1.2

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.1.1.3

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.1.2

Nhân $- 5$ với $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.1.3

Trừ $10$ khỏi $- 1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.2

Di chuyển $- 11$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.2

Đưa $x e^{- 2 x}$ ra ngoài $- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.2.1

Đưa $x e^{- 2 x}$ ra ngoài $- x^{2} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.2.2

Đưa $x e^{- 2 x}$ ra ngoài $- x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.2.3

Đưa $x e^{- 2 x}$ ra ngoài $x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.3

Để viết $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.4.1

Nhân $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{(x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.6.4.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.6.4.1.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{\frac{(- (x \cdot x) e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.4.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.4.2

Viết lại $- 1 (x e^{- 2 x})$ ở dạng $- (x e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} \cdot 2 - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.8

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.6.8.1

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.8.2

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.8.3

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.8.4

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x)$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.6.8.5

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.7

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.8

Kết hợp $C$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.6.10.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.10.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.10.2.3

Di chuyển $- 11$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.6.10.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.8

Nhân $\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ với $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 e^{- 2 x} x^{2}$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x)$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 11 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $4 C$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.15

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.16.1

Viết lại $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ ở dạng $- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.16.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Bước 8.2.3.16.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$