Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Bước 1.2

Đưa $s$ ra ngoài $\frac{s}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $s$ và $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (t)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$t$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{t}$ và $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

Bước 7.2

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

Bước 7.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

Bước 7.4

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

Bước 7.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Cộng $- \cos (t)$ và $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

Bước 7.5.2.2

Cộng $t \sin (t)$ và $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $t s = t \sin (t) + C$ cho $t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $t s = t \sin (t) + C$ cho $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.2.1.2

Chia $s$ cho $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Bước 8.3.1.2

Chia $\sin (t)$ cho $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$