Giải tích Ví dụ

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3 y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = 3 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $3 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

Bước 4.3

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y - 1 \cdot 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y$ .

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Bước 4.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{y}{y^{2}}$

Bước 4.3.4

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

Bước 4.3.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Bước 4.3.4.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Bước 4.3.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Bước 4.3.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | y | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Bước 6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $3 x y - 1$ với $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $y$ .

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

Bước 6.6

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y^{3}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{3} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 x y^{2}$ và $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

Bước 12.1.2.2

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $- y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 13.5

Viết lại $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 15

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$