Giải tích Ví dụ

$3 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$3 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Bước 1.3.2

Kết hợp.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Bước 1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Bước 1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Bước 1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.5

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.6

Tách các phân số.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.7

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Bước 1.3.8

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Bước 1.3.9

Chia $\sin (θ)$ cho $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Bước 1.3.10

Nhân $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.10.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 1.3.10.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Bước 1.3.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Bước 1.3.10.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (3 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Bước 1.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 3 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 3 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 3 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Kết hợp $\frac{y}{e^{y}}$ và $3$ .

$\int \frac{y \cdot 3}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$\int \frac{3 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Làm âm số mũ của $e^{y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$3 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.3.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$3 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$3 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- y}$ .

$3 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.6.2

Nhân $\int e^{- y} d y$ với $1$ .

$3 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.7

Giả sử $u_{1} = - y$ . Sau đó $d u_{1} = - d y$ , nên $- d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Hãy đặt $u_{1} = - y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.2.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.2.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$3 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.9

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$3 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.10

Viết lại $3 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ ở dạng $3 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- y$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = \sin (θ)$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (θ)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 2.3.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (θ)$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$3 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$