Giải tích Ví dụ

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$e^{y} d y = 4 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{y} d y = \int 4 x d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 4 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = 2 x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (2 x^{2} + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (2 x^{2} + K)$