Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (10 - x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $- 1$ cho $y$ trong $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Bước 4.2

Rút gọn $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Bước 4.2.1.3

Nhân $10$ với $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Bước 4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = - 1$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = - 1$

Bước 5

Thay $- 1$ cho $K$ trong $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 1$ bằng $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Bước 5.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$