Giải tích Ví dụ

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{y} - \sin (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y}$ đối với $x$ là $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Bước 2.3.3

Nhân $\frac{1}{y}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \sin (y)$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \sin (y)$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\frac{1}{y}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\frac{1}{y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = \frac{1}{y}$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = \frac{1}{y}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{1}{y}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

Bước 4.3

Thay $1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

Bước 4.3.2

Chia $\frac{1}{y} + 0$ cho $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

Bước 4.3.3

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | y | + C$

Bước 6

Nhân $1$ với $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Bước 11.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - y \sin (y) - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- y \sin (y)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- y \sin (y)$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

Bước 13.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

Bước 13.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

Bước 13.6.2

Nhân $\int \cos (y) d y$ với $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

Bước 13.7

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

Bước 13.8

Viết lại $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ ở dạng $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ .

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Bước 15.2

Nhân $- (- y \cos (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Bước 15.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$