Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\cos^{2} (y)$ ra ngoài $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ sang $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.2

Vì đạo hàm của $\tan (y)$ là $\sec^{2} (y)$ , tích phân của $\sec^{2} (y)$ là $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Bước 3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Bước 3.5

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $\tan (y)$ từ bên trong arcsin.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Bước 3.6

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Bước 3.7

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Bước 3.8

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Bước 3.9

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $\tan (y)$ từ bên trong arcsin.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Bước 3.10

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Bước 3.11

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $\frac{π}{4}$ cho $y$ trong $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Bước 5.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $K$ từ trong hàm sin.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Bước 5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn $\sin (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Bước 5.3.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Bước 5.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Tính $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Bước 5.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Bước 5.6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Bước 5.6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Bước 5.6.3

Trừ $0.90333911$ khỏi $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Bước 5.7

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ đúng.

$Không có đáp án$