Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Bước 3.3

Khai triển $\ln (x^{4})$ bằng cách di chuyển $4$ ra bên ngoài lôgarit.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Bước 3.4

Rút gọn $4 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$