Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$y' - y = 1$

Bước 2

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Bước 2.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 2.3.3.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = e^{x}$

Bước 3

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Bước 4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Bước 4.2

Trừ $e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $1$ .

$1 = 1$

Bước 5

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = e^{x} - 1$ là đáp án của $y' - y = 1$