Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

Bước 1.2.2

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

Bước 1.2.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

Bước 1.2.4

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

Bước 1.2.5

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

Bước 1.2.5.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

Bước 1.2.5.3

Sắp xếp lại $\cos (y)$ và $x \sec (y)$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

Bước 1.2.5.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

Bước 1.2.5.5

Viết lại $2 \cos (y) x \sec (y)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

Bước 1.2.5.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

Bước 1.2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\sin (y) = x^{2} + K$

Bước 3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (x^{2} + K)$