Giải tích Ví dụ

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - x y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- x + 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x - y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- x + 2 y = 2 x - y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- x + 2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 x - y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $x^{2} - x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x^{2} - x y$ bằng $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $2 x$ khỏi $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.5

Cộng $2 y$ và $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.6

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.2.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Bước 4.3.3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Bước 4.3.3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- x + y$ và $x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4.4

Viết lại $- (x - y)$ ở dạng $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Bước 4.3.4.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Bước 4.3.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Bước 4.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $- 3 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 3$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Bước 5.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Bước 5.6.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{2} - x y$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y^{2} - x y$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x^{2} - x y$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x^{2} - x y$ với $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.6.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.6.2

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Bước 6.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Bước 6.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Bước 6.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $\frac{1}{x^{2}}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{x^{2}}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Bước 8.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Bước 8.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Bước 8.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Bước 8.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Bước 8.6

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ và $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y - \frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.3

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.5

Vì $- \frac{y^{2}}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.6

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.9

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.10

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.11

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.12

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.12.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.16

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.17

Để viết $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.19

Nhân $x^{- 3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.19.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.3.19.3

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.4

Kết hợp $y$ và $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.7.2

Chia $2 y$ cho $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.9

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.11

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.12

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.13

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.16

Trừ $2 y$ khỏi $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.17

Nhân $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.18

Kết hợp.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.19

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.20

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.20.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.21

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.21.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.21.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.21.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.21.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.22

Để viết $\frac{d g}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.3.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 11.5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Bước 12.1.2

Rút gọn $y (y - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Viết lại.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Bước 12.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Bước 12.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Bước 12.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.4.1

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Bước 12.1.2.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Bước 12.1.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Bước 12.1.3.2

Cộng $x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Bước 12.1.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.3.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Bước 12.1.3.3.2

Cộng $- y x$ và $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Bước 12.1.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- y x$ và $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Bước 12.1.3.3.4

Cộng $- x y$ và $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Bước 12.1.4

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ cho $x^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ cho $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Bước 12.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Bước 12.1.4.2.1.2

Chia $\frac{d g}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Bước 12.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.3.1

Chia $0$ cho $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 13.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 13.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Bước 15.2

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Bước 15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.2

Để viết $x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Bước 15.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Bước 15.4

Kết hợp $y$ và $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Bước 15.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Bước 15.6

Kết hợp.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Bước 15.7

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$