Giải tích Ví dụ

$2 x (y d) x + (1 + x^{2}) d y = 0$

Bước 1

Trừ $2 x y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Bước 3.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Bước 3.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.4

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.4.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Bước 5.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Bước 5.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Bước 5.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Bước 5.7

Viết lại $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Bước 5.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Bước 5.8.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3

Đưa $y$ ra ngoài $y + y x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Bước 5.8.4

Chia mỗi số hạng trong $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ cho $1 + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ cho $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 5.8.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 5.8.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$