Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Bước 2.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Bước 2.2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $2 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Bước 3.2.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Bước 3.3

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Bước 3.3.3

Di chuyển $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Bước 3.3.4

Sắp xếp lại $3 y^{2}$ và $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Bước 3.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = 2$ , và $c = - 4 x^{2} - 2 K$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.4

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5

Nhân $- 2$ với $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 48 x^{2} + 24 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $24 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.6.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.7

Viết lại $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Bước 3.6.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Bước 3.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$