Giải tích Ví dụ

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{x} y$ đối với $y$ là $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Bước 1.3.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $x e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x e^{x} y$ đối với $y$ là $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.4

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $x e^{x} + e^{x}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x e^{x} + e^{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $x e^{x} + e^{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x e^{x} + 2$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $(x e^{x} + 2) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.7

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.3.8

Cộng $x e^{x} + e^{x}$ và $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 8.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Bước 9.1.2.2

Trừ $y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Bước 9.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.3.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Bước 9.1.2.3.2

Cộng $1 + y e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Bước 9.1.2.3.3

Trừ $y e^{x}$ khỏi $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Bước 9.1.2.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $1$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$