Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Bước 1.1.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Bước 1.1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Bước 1.2

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3}{2} + \frac{x}{2 y}$

Bước 1.2.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $f (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $\frac{x}{y}$ ra ngoài $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.3.1.2

Sắp xếp lại $\frac{x}{y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Bước 1.3.2

Viết lại $\frac{x}{y}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Bước 6.1.1.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Bước 6.1.1.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Để viết $- V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.1

Kết hợp $- V$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $3 V - V \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.3.2

Nhân $V$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1

Để viết $\frac{V}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.2

Nhân $\frac{V}{2}$ với $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V \cdot V}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4

Nhân $V$ với $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V^{2}}{2 V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.6

Nhân $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{2 V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.2.1

Đưa $2 V$ ra ngoài $2 V x$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V (x)}$

Bước 6.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Bước 6.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Bước 6.1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $V$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u = 1 + V^{2}$ . Sau đó $d u = 2 V d V$ , nên $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u = 1 + V^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + V^{2}$ đối với $V$ là $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $V$ , đạo hàm của $1$ đối với $V$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Bước 6.2.2.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Bước 6.2.2.2.1.5

Cộng $0$ và $2 V$ .

$2 V$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + V^{2}$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Bước 6.3.4

Viết lại $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}$

Bước 6.3.5

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Bước 6.3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| 1 + V^{2} | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.4

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x |$ .

$| 1 + V^{2} | = | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + V^{2} = \pm e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.4.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$V^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Bước 6.3.5.4.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Bước 8.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$