Giải tích Ví dụ

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ cho $\cos^{2} (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ cho $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.1.2

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.1.4

Chia $y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân với $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Bước 1.1.3.1.6

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.1.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

Bước 1.1.3.1.8

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

Bước 1.2

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

Bước 1.2.2

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

Bước 1.2.3

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $y + 3$ ra ngoài $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 3$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

Bước 3.3.3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\tan (x) + C}$ ở dạng $e^{\tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\tan (x)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$