Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Bước 2.2

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sin (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

Bước 3.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Bước 3.2.2

Viết lại $\sin (x) (\cot (x) y)$ theo sin và cosin.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 7.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\sin (x) y = \int u d u$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ cho $\sin (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ cho $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin^{2} (x)$ và $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.1.2.4

Chia $\frac{1}{2} \sin (x)$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.3

Tách các phân số.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8.3.1.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Bước 8.3.1.5

Chia $C$ cho $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$