Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$