Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 1.3.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Bước 7.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Bước 7.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Bước 7.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Bước 7.6

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Bước 7.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Viết lại $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ ở dạng $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Bước 7.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Bước 7.7.2.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.1.2

Chia $- \cos (x)$ cho $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.3

Để viết $- \cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.4

Kết hợp $- \cos (x)$ và $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (x) x^{2}$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Bước 8.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $C$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Bước 8.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Bước 8.3.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.1

Viết lại $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ ở dạng $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Bước 8.3.13.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Bước 8.3.13.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$