Giải tích Ví dụ

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

Bước 1

Cộng $2 x (1 + e^{y}) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $e^{y} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{y}}$ và $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $1 + e^{y}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

Bước 3.5.2

Đưa $1 + e^{y}$ ra ngoài $x (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Bước 3.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{2}{1 + x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Sau đó $d u_{1} = e^{y} d y$ , nên $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Bước 4.2.1.1.4

Cộng $0$ và $e^{y}$ .

$e^{y}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 4.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$