Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r x}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Bước 2.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Bước 2.5.2

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Bước 2.5.3

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Bước 2.5.4

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Bước 2.5.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Bước 3.2

Trừ $5$ khỏi $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Bước 3.3

Phân tích $r^{2} - 2 r - 8$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 8$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 4, 2$

Bước 3.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Bước 3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Bước 3.5

Đặt $r - 4$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $r - 4$ bằng với $0$ .

$r - 4 = 0$

Bước 3.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$r = 4$

Bước 3.6

Đặt $r + 2$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $r + 2$ bằng với $0$ .

$r + 2 = 0$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r = - 2$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(r - 4) (r + 2) = 0$ đúng.

$r = 4, - 2$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$