Giải tích Ví dụ

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

Bước 1

Trừ $y^{2} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $2 x + 1$ ra ngoài $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ vào tử số.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.2.3

Viết lại $- y^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u = 2 x + 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 4.3.2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 4.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| 2 x + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 5.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y, 1, 1$

Bước 5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y$

Bước 5.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ với $y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ với $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Bước 5.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

Bước 5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

Bước 5.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

Bước 5.4.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $C y$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

Bước 5.4.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Bước 5.4.3

Viết lại $- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ ở dạng $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Bước 5.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ cho $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ cho $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Bước 5.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.1

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Bước 5.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Bước 5.4.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

Bước 5.4.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

Bước 5.4.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Bước 5.4.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.3.5.1

Viết lại $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ ở dạng $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Bước 5.4.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Bước 5.4.4.3.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Bước 5.4.4.3.5.4

Nhân $\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ với $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$