Giải tích Ví dụ

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Bước 1.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Bước 1.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 1$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Bước 3.3.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Bước 6.2.1.2

Chia $0$ cho $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 2$ với $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Bước 6.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Bước 6.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Bước 6.2.4

Nhân $C$ với $1$ .

$C - 1 = 1$

Bước 6.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 1 + 1$

Bước 6.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$C = 2$

Bước 7

Thay $2$ cho $C$ trong $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $2$ bằng $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$