Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{y}{x + y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{y}{x + y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}}$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Bước 1.7

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Bước 1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Bước 1.8.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}}$

Bước 1.8.2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.2

Để viết $- V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.3.1

Kết hợp $- V$ và $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.4.1

Đưa $V$ ra ngoài $V - V (1 + V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.4.1.1

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.1.4

Đưa $V$ ra ngoài $V \cdot 1 + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.5

Trừ $V$ khỏi $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.6

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.4.6.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.6.2

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.6.3

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{1})}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 1}}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.4.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2}}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2}}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.2.3.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{V^{2}}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x (1 + V)}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + V}{V^{2}}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2

Nhân $\frac{V^{2}}{1 + V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1 + V}{V^{2}}$ vào tử số.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.2

Đưa $1 + V$ ra ngoài $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.3

Đưa $1 + V$ ra ngoài $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) (x)}$

Bước 6.1.4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Bước 6.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Bước 6.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + V}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + V}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Di chuyển $V^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 + V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (1 + V) V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Nhân $(1 + V) V^{- 2}$ .

$\int 1 V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Nhân $V^{- 2}$ với $1$ .

$\int V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Nhân $V$ với $V^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1

Nhân $V$ với $V^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.2.1.1

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{1} V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int V^{- 2} + V^{1 - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int V^{- 2} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V^{- 2}$ đối với $V$ là $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Tích phân của $V^{- 1}$ đối với $V$ là $\ln (| V |)$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Rút gọn.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 8

Giải $- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.3

Nhân $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{y}{x}$ và $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.4.2

Chia $y$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x}{y}) + C$

Bước 8.5.2

Nhân $\frac{x}{y}$ với $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{y} + C$