Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Bước 1.1.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (y)}$ sang $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Bước 1.1.3

Chia $9$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Bước 1.1.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Bước 1.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Bước 1.1.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (y)}$ sang $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Bước 1.1.5.3

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Bước 1.1.6

Đưa $\csc (y)$ ra ngoài $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Đưa $\csc (y)$ ra ngoài $x \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Bước 1.1.6.2

Đưa $\csc (y)$ ra ngoài $- 9 \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Bước 1.1.6.3

Đưa $\csc (y)$ ra ngoài $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại $\csc (y)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\sin (y)$ đối với $y$ là $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $\cos (y)$ cho $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ ở dạng $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.5

Viết lại $- 1 \cdot (- 9 x)$ ở dạng $- (- 9 x)$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.6

Nhân $- 9$ với $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.7

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Bước 3.1.3.1.8

Viết lại $- 1 \cdot K$ ở dạng $- K$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Bước 3.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$