Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{3}{4}}$ đối với $x$ là $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ ở dạng $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Nhân $3$ với $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $8$ cho $y$ trong $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Bước 4.2.2

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + K = 8$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 8 - 12$

Bước 4.3.2

Trừ $12$ khỏi $8$ .

$K = - 4$

Bước 5

Thay $- 4$ cho $K$ trong $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 4$ bằng $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$