Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1.2.4

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 1.2.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ sang $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Vì đạo hàm của $\tan (y)$ là $\sec^{2} (y)$ , tích phân của $\sec^{2} (y)$ là $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \cot (x) + K = \tan (y)$ .

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

Bước 3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $- \cot (x) = \tan (y) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cot (x) = \tan (y) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.3.2.2

Chia $\cot (x)$ cho $1$ .

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\tan (y)}{- 1}$ .

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \tan (y)$ ở dạng $- \tan (y)$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.3.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

Bước 3.3.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

Bước 3.5

Viết lại phương trình ở dạng $arccot (- \tan (y) + K) = x$ .

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Bước 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Bước 3.7

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Bước 3.8

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (y) = \cot (x) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (y) = \cot (x) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.8.2.2

Chia $\tan (y)$ cho $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.8.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \cot (x)$ ở dạng $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.8.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Bước 3.8.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Bước 3.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

Bước 3.10

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Bước 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Bước 3.12

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Bước 3.13

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (y) = \cot (x) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (y) = \cot (x) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.13.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.13.2.2

Chia $\tan (y)$ cho $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.13.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.13.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \cot (x)$ ở dạng $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 3.13.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Bước 3.13.3.1.4

Chia $K$ cho $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Bước 3.14

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$