Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $1 + \sqrt{y}$ .

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = 1 + \sqrt{x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(1 + \sqrt{y}) d y = (1 + \sqrt{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 + \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} + \int y^{\frac{1}{2}} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$y + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int d x + \int \sqrt{x} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int \sqrt{x} d x$

Bước 2.3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + K$