Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

Bước 1.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 1.2.2

Nhân $y^{2} - 1$ với $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 1.2.3.2

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Bước 1.2.5.2

Chia $x^{2} + 1$ cho $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$