Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + (\frac{2 x + 1}{x}) y = e^{- 2 x}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{2 x + 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.3.2

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} ((\frac{2 x + 1}{x}) y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2 x + 1}{x}$ và $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.2.2

Kết hợp $e^{2 x + \ln (x)}$ và $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.3

Để viết $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{2 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Đưa $e^{2 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.5.1.2

Đưa $e^{2 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.5.1.3

Đưa $e^{2 x + \ln (x)}$ ra ngoài $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.5.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Bước 2.6

Nhân $e^{2 x + \ln (x)}$ với $e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Bước 2.6.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Bước 2.6.2.2

Cộng $0$ và $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Bước 2.7

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Bước 2.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $e^{2 x + \ln (x)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x + \ln (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Bước 7.3.1.4

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$