Giải tích Ví dụ

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} + 2 x y - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.4

Vì $e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.6

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 3.9

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Bước 3.11

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Bước 3.12.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Bước 3.12.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 y + 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y + 2$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 = - 2 y + 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 2 y + 2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Bước 5.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Bước 5.3.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Bước 5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Bước 5.3.4

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Bước 5.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Bước 5.3.6

Viết lại $- (2 y - 1)$ ở dạng $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Bước 5.3.7

Thay $y$ bằng $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Bước 6.2

Chia $2 y - 1$ cho $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Bước 6.2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 y$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Bước 6.2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Bước 6.2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 y + 0$

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Bước 6.2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Bước 6.2.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Bước 6.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Bước 6.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Bước 6.6

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Bước 6.7

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y$ với $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ với $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Bước 7.4.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Bước 7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Bước 7.6

Nhân $e^{y}$ với $e^{- 2 y + \ln (y)}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Di chuyển $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Bước 7.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Bước 7.6.3

Cộng $- 2 y$ và $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 y + \ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.5

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.7

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.9

Nhân $- 2$ với $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.3.10

Nhân $e^{- 2 y + \ln (y)}$ với $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.3.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.4

Cộng $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ và $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 12.5.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Cộng $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ và $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2.2

Cộng $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ và $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2.3

Trừ $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ khỏi $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2.4

Cộng $0$ và $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.3

Vì $\frac{d g}{d y}$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Bước 13.1.4

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Bước 13.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Bước 13.1.4.2.2

Chia $\frac{d g}{d y}$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Bước 13.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Bước 13.1.4.3.2

Viết lại $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ ở dạng $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- e^{- y + \ln (y)}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Bước 14.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Bước 14.4

Viết lại $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ ở dạng $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Bước 14.5

Viết lại $e^{\ln (y)}$ ở dạng $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Bước 14.6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Bước 14.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Bước 14.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Bước 14.8.2

Nhân $\int e^{- y} d y$ với $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Bước 14.9

Giả sử $u = - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.9.1

Hãy đặt $u = - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.9.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 14.9.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 14.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 14.9.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 14.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 14.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Bước 14.11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Bước 14.12

Viết lại $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ ở dạng $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Bước 14.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Bước 14.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 14.14.2

Nhân $- (- y e^{- y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.14.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Bước 14.14.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Bước 14.14.3

Nhân $- - e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.14.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Bước 14.14.3.2

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$