Giải tích Ví dụ

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(x + 1) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.9

Nhân $y$ với $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ cho $x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ cho $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.1.3

Nhân $\frac{x^{3}}{3}$ với $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.2

Để viết $- \frac{x}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $3 (x + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - x \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.5.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.5.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.6

Để viết $\frac{C}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 6.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $3 (x + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.7.1

Nhân $\frac{C}{x + 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

Bước 6.3.7.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Bước 6.3.9.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$