Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = e^{3 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Bước 4.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Bước 4.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $4$ với $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Bước 5

Thay $\frac{11}{3}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{11}{3}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$