Giải tích Ví dụ

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Bước 1.2.2

Vì $\cos (x) \sin (x)$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\cos (x) \sin (x)$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x y^{2}$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Bước 1.4

Trừ $2 x y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Bước 2.2

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y (1 - x^{2})$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Bước 2.8.2

Sắp xếp lại các thừa số của $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 x y = - 2 x y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $1 - x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $1 - x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 5.3

Viết lại $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.2

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.8

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.9

Kết hợp $- 2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.10

Kết hợp $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ và $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.3.11.2.4

Chia $- y^{2} x$ cho $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $y^{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- x y^{2}$ và $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Bước 9.1.2.2

Cộng $- y^{2} x$ và $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Bước 9.1.2.3

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $\cos (x) \sin (x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 10.3

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 10.3.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 10.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

Bước 10.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int u d u$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 10.6

Viết lại $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 10.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.6

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Bước 12.7

Kết hợp $\cos^{2} (x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$