Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ ở dạng $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{3}{x} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{3}{x}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$