Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Bước 1.3.2

Kết hợp.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Bước 1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Bước 1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Bước 1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.5

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.6

Tách các phân số.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Bước 1.3.7

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Bước 1.3.8

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Bước 1.3.9

Chia $\sin (θ)$ cho $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Bước 1.3.10

Nhân $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.10.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 1.3.10.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Bước 1.3.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Bước 1.3.10.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.1.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.4.2

Nhân $\int e^{- y} d y$ với $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.5

Giả sử $u_{1} = - y$ . Sau đó $d u_{1} = - d y$ , nên $- d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Hãy đặt $u_{1} = - y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.2.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.2.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.7

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.8

Viết lại $y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})$ ở dạng $- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.2.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = \sin (θ)$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (θ)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 2.3.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (θ)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$