Giải tích Ví dụ

$- \frac{2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

Bước 1

Cộng $\frac{2 y}{t^{3}} d t$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{t^{2}} d y = \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{t^{2}}{y}$ .

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{2 y}{t^{3}} d t$

Bước 3.3

Kết hợp.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{y t^{3}} d t$

Bước 3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $y t^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} (2 y)}{t^{2} (y t)} d t$

Bước 3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 y}{y t} d t$

Bước 3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (| t |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| t |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Nhân cả hai vế với $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Bước 5.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Bước 5.5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Bước 5.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Bước 5.5.4

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm t^{2} C$

Bước 6.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C t^{2}$