Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int 4 x d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$x y = 4 \int x d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Bước 5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Bước 5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Bước 5.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{2} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{2} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 6.3.1.2.5

Chia $2 x$ cho $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Bước 7

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $8$ cho $y$ trong $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Bước 8

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Bước 8.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$2 + C = 8$

Bước 8.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 8 - 2$

Bước 8.3.2

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$C = 6$

Bước 9

Thay $6$ cho $C$ trong $y = 2 x + \frac{C}{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay $6$ bằng $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$