Giải tích Ví dụ

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ cho $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Bước 1.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Bước 1.6

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- y}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Bước 1.7

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 1}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- \frac{1}{4}}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{4 x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5

Nhân $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $\frac{y}{4 x}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2.2

Nhân $x^{\frac{1}{4}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.2.5.2.5

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

Bước 3.4

Kết hợp.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Bước 3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ và $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Bước 3.7

Di chuyển $x^{\frac{1}{4}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Bước 3.8

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

Bước 3.8.2

Nhân $x^{- \frac{1}{4}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

Bước 3.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

Bước 3.8.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

Bước 3.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

Bước 3.8.5

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ ở dạng $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.3

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $28$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 7.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{3}{7}$ và $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2

Nhân $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ và $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2.2

Nhân $x^{\frac{7}{4}}$ với $x^{\frac{1}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2.2.4

Cộng $1$ và $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Bước 8.4.2.1.2.2.5

Chia $8$ cho $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$