Giải tích Ví dụ

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn vế trái.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Bước 1.1.2

Trừ $e^{- y} \sec (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Bước 1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ cho $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ cho $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Bước 1.1.3.3.2

Tách các phân số.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.1.3.3.3

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Bước 1.1.3.3.4

Viết lại $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 1.1.3.3.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.5.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 1.1.3.3.5.2

Kết hợp.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Bước 1.1.3.3.5.3

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Bước 1.1.3.3.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.6.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Bước 1.1.3.3.6.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Bước 1.1.3.3.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Bước 1.1.3.3.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.3.7

Nhân với $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Bước 1.1.3.3.8

Tách các phân số.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.1.3.3.9

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Bước 1.1.3.3.10

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Bước 1.1.3.3.11

Kết hợp $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Bước 1.1.4

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Bước 1.1.5

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Bước 1.1.5.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$\frac{d y}{d x}$

Bước 1.1.6

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ với $\frac{d y}{d x}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Bước 1.1.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Bước 1.1.6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Bước 1.1.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Bước 1.1.7

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Bước 1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{- y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2.1.2

Nhân $- y \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2.1.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$